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复雑なネットワークの动的顽强性 ―つながりの少ない要素の重要な役割―

平成24年2月1日

1．発表者
田中 剛平（東京大学 生産技術研究所 特任准教授）
森野 佳生（東京大学大学院 情報理工学系研究科 博士課程大学院生）
合原 一幸（東京大学 生産技術研究所 教授）

2．発表概要

东京大学生产技术研究所の田中刚平特任准教授と合原一幸教授らは、多数の要素が复雑につながったネットワークの动的顽强性（动的ロバスト性）の基础理论を确立しました。これまで、つながりの多い要素、すなわち他のたくさんの要素とつながったハブ的要素の重要性についてはよく指摘されてきましたが、つながりの少ない要素の重要な役割については知られていませんでした。今回、ネットワークの动的安定性に関する基础理论を构筑し、复雑なネットワークの动的现象が、つながりの少ない要素の故障によりきわめて脆弱になり得ることを、数理モデルを用いた解析によって示しました。本结果は、脳の老化や心臓疾患などの疾病の进行を抑制する治疗やスマートグリッドの安定な制御などに役立つ新しい指针につながると期待されます。この成果は、2012年1月25日にネイチャー?パブリッシング?グループの総合科学雑誌サイエンティフィックレポーツ（オンライン版）に掲载されました。掲载论文は下记鲍搁尝からどなたでも无料で閲覧することができます。

3．発表内容

■背　景
　 現実世界には、人間関係、インターネット、WWW、神経回路網、電力網、交通網などのように、複雑なつながり方をした大規模ネットワークが数多くあります。ネットワーク化は、機能の効率化や利便性の向上などのメリットをもたらしますが、同時に局所的な故障や不具合によってネットワーク全体が機能しなくなるリスクを伴います。例えば、細胞の壊死は生体の疾病を、発電設備の故障は大規模な停電を、サーバーダウンは大規模な通信システム障害を引き起こすことがあります。ネットワーク理論では、ネットワークをグラフ（注1）で表現し、一部の頂点や枝の除去によって生じるネットワークの構造変化を解析することで、故障耐性に関する一般的性質が研究されてきました。例えばスケールフリーネットワーク（注2）は、ハブの故障には極めて弱いことが広く知られています。しかし、実際には、つながっている要素間で電気信号、化学物質、パケットなどの物理量のやりとりがあります。このような相互作用を考慮した場合の、複雑ネットワーク上の動的現象の故障耐性、すなわち動的安定性についてはこれまで分かっていませんでした。

■内　容
　 本研究グループは、振動現象（注3）を例として複雑ネットワーク上の動的現象の頑強性、すなわち動的頑強性を調べました。振動現象を表現する振動子モデル（注4）を多数つなげてネットワークを数学的に構成し、振動子間の相互作用として拡散効果（注5）を仮定しました。ネットワーク内で故障する振動子が増えていくと、全体の平均的な振動レベルは弱まっていきますが、故障率がある値を超えると突然すべての振動子が振動しなくなります。この振動が維持される最大の故障率を頑強性の指標として、理論計算と数値シミュレーションによる解析を行ったところ、予測に反して、つながりの少ない要素が全体の振動の維持に大きく寄与することが分かりました（図1）。実際、スケールフリーネットワーク上の振動活動は、つながりの少ない頂点の故障に非常に弱いことが明らかになりました（図2）。

■効　果
　 本研究の成果は、ネットワーク機能の頑強性が、要素どうしのつながり方だけでなく、要素の動的性質と要素間の動的相互作用にも大きく依存することを示唆しています。現実のネットワークに対しても同様の手法で故障耐性を調べ、動的機能の維持にとって重要な役割をもつ要素と相互作用を同定できれば、将来的には、脳、心臓やすい臓などの疾病進行を抑制する治療、自然エネルギー源を多数導入したスマートグリッドの動的安定性を保ち大規模停電を回避する制御、震災時にも機能を保つ通信ネットワークの設計などに役立つ基礎理論になり得ると期待されます。

■今后の展开
　 実際の生体や電力等のネットワークについて、要素の結合関係を表す実データと要素間の相互作用を表す数理モデルを組み合わせることで、個別のシステムの故障耐性を明らかにしていきたいと考えています。

4. 発表雑誌：

Gouhei Tanaka, Kai Morino & Kazuyuki Aihara: Dynamical robustness in complex networks: the crucial role of low-degree nodes. Scientific Reports 2, 232; DOI:10.1038/srep00232 (2012).

5. 問い合わせ先：
?田中　剛平（たなか ごうへい）
東京大学 生産技術研究所 特任准教授　

?合原　一幸（あいはら かずゆき）
東京大学 生産技術研究所 教授

6. 用語解説：
（注1）グラフ
要素に対応する顶点（ノード）と要素间のつながりに対応する枝（リンク）を用いた、ネットワークの表现方法。多数の顶点が多数の枝で复雑につながったネットワークを复雑ネットワークと呼びます。

（注2）スケールフリーネットワーク
一部の顶点が膨大な枝を持ち、ほとんどの顶点はごくわずかな枝しか持たないような复雑ネットワーク（図2）。人间関係、インターネット、奥奥奥などは実际にスケールフリー性を持つことが知られています。

（注3）振动现象
心拍や概日リズムに関係する细胞活动、発电机、発振电子回路など、様々な生物、物理、工学システムに见られる、物理量が时间とともに振动する动的现象。

（注4）振动子モデル
状态が时间と共に周期的に変动する振る舞いを表す数理モデル。本研究では、标準的な微分方程式モデルを用いて、正常な振动子の周期振动と故障した振动子の减衰振动を表しました（図3）。

（注5）拡散効果
物理量の流れが勾配に比例して起きる现象のこと。本研究のモデルでは、枝でつながっている振动子间には振动の大きさを同程度に均衡化しようとする作用が働きます。したがって、故障した振动子は単体では振动できませんが、ネットワーク内で十分な数の正常な振动子とつながっていれば相互作用によって弱い振动を维持することが可能です。

7. 添付資料：